伯努力试验与二项分布

来源  :   I派生活     2020-06-17 20:30:56

2020-06-17

在生活中,有很多的事情都只有两种结果 (outcome),例如考试是否及格、明天是否下雨、丢掷铜板并观察其结果。当一个试验只有两种可能结果(成功与失败),且两个结果出现之机率为固定(若成功机率为 \(p\),则失败机率为 \(1-p\)),我们称这样的试验为伯努力试验 (Bernoulli trial)。当我们重複进行多次相同的伯努力试验(如丢掷一相同硬币数次),且已知这些试验之间的结果互相独立(即这次试验的结果不影响下次试验的结果),则称为二项实验 (binomial experiment)。

举例来说,本季罚球命中率约为九成的 NBA 球星 Stephen Curry 连罚 \(3\) 球(对运动员来说,连罚 \(3\) 球并不会有体力上的耗损)即是一个实验次数为 \(3\),成功机率为 \(0.9\) 的二项实验。若我们观察这个二项实验中成功的次数,则称此成功次数为一个符合二项分配 (binomial distribution) 的随机变数,以“\(+\)”代表进球,“\(-\)”表示未进球,其可能的结果以随机变数及其发生的机率以表一所示:

表一、Stephen Curry 连罚 3 球的结果、随机变数及其发生的机率。

结果 S随机变数 X:三次罚球的总进球数 x机率 f(x)+++x = 3\(0.9^3\)++-
+-+
-++x = 2\(C^3_20.9^2(1-0.9)^1\)+--
-+-
--+ x = 1\(C^3_10.9^1(1-0.9)^2\)---x = 0\(0.1^3\)

表一中第一栏的结果为随机实验的样本空间(定义为 \(S\)),而第二栏随机变数的结果则是透过一个随机变数(定义为 \(X\)),将样本空间的结果转换由实数 \(\{x: 0,~1,~2,~3\}\)。第三栏表述随机变数的结果之发生机率(记为 \(f(x)\),\(f\) 为机率函数)。观察进球数 \(x\) 与发生机率 \(f(x)\) 的关係,我们可将不同进球数的机率,以一个函数表达:

\(f(x)=C^3_x0.9^x(1-0.9)^{3-x},~~~~~~x=0,~1,~2,~3\)

此时我们可以说随机变数 \(X\) 属于「实验次数 \(n = 3\),成功机率 \(p = 0.9\) 的二项分配」,记为

\(X\sim B(3,0.9)\)

若推广至实验次数为 \(n\),成功机率为 \(p\),则机率分配为

 \(f(x)=C^n_xp^x(1-p)^{n-x},~~~~~~x=0,~1,…,~n\)

若有一随机变数 \(X\) 属于此分配,则记为

\(X\sim B(n,p)\)

接着,我们要讨论二项分配的平均数(代表分配的集中趋势)与变异数(代表分配的离散程度)。若有一随机变数 \(X\sim B(n,p)\),我们可将 \(X\) 视为 \(n\) 个成功机率为 \(p\),且互相独立的白努力分配 \((X_i\sim B(1,p))\) 的总和。

\(X=X_1+X_2+…+X_n\)

透过期望值的运算,可以得知其中任何一个伯努力分配的平均数为

\(E(X_i)=\sum\limits^1_{x=0}xp^x(1-p)^{1-x}=p\)

变异数为

\(Var(X_i)=E(X^2_i)-[E(X)]^2=\sum\limits^1_{x=0}x^2p^2(1-p)^{1-x}-p^2=p(1-p)\)

由于原随机变数 \(X\) 中的所有 \(X_i\) 均为互相独立的随机变数,基于期望值与变异数的可加性,我们可知原随机变数 \(X\) 的平均值与变异数为

\(E(X)=E(X_1+X_2+…+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+…+E(X_n)=np\)

\(Var(X)=Var(X_1+X_2+…+X_n)=Var(X_1)+Var(X_2)+…+Var(X_n)=np(1-p)\)

二项分配在不同实验次数,及不同成功机率的分配图形如图一和图二。

另外,二项分配之所以被称为二项分配,是因为分配的机率值是二项式定理的二项係数。二项式定理与二项分配之机率总和:

二项式定理:\(\sum\limits^n_{x=0}C^n_xa^xb^{n-x}=(a+b)^n\)

二项分配之机率总和:\(\sum\limits^n_{x=0}f(x)=C^n_xp^x(1-p)^{n-x}=[p+(1-p)]^n=1\)

伯努力试验与二项分布

图一、二项分配在不同成功机率下的分配图形。(本文作者杜柏毅绘)

伯努力试验与二项分布

图二、二项分配在不同实验次数下分配图形。(本文作者杜柏毅绘)


参考文献

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